Τρίγωνο

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =\alpha +\beta +\gamma }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {\alpha \upsilon }{2}}={\frac {\alpha \beta \eta \mu \theta }{2}}={\sqrt {s{\begin{pmatrix}s-\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\gamma \end{pmatrix}}}}}$ , όπου ${\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}$ (ημιπερίμετρος)

• Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου είναι ${\displaystyle \theta =90^{o}\Rightarrow \eta \mu \theta =1}$. Άρα: β = υ και:

${\displaystyle E={\frac {\alpha \beta }{2}}}$.

• Στην περίπτωση ισόπλευρου τριγώνου είναι: ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$, ${\displaystyle \theta =60^{o}}$ και ${\displaystyle s={\frac {3}{2}}\alpha }$. Οπότε:

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =3\alpha }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {\alpha \upsilon }{2}}={\frac {\alpha ^{2}\eta \mu 60^{o}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}}$

Το ίδιο προκύπτει και από τον άλλο τύπο:

${\displaystyle E={\sqrt {{\frac {3}{2}}\alpha {\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}\alpha -\alpha \end{pmatrix}}^{3}}}={\sqrt {{\frac {3}{2}}\alpha {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\alpha \end{pmatrix}}^{3}}}={\sqrt {\frac {3\alpha ^{4}}{2^{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\alpha ^{2}}$

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =2{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}}$

Εμβαδό:

${\displaystyle E=\alpha \beta }$

Πλάγιο παραλληλόγραμμο

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =2{\begin{pmatrix}\alpha +\beta \end{pmatrix}}}$

Εμβαδό:

${\displaystyle E=\alpha \upsilon =\alpha \beta \eta \mu \theta }$

Ρόμβος

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =4\alpha }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {\delta _{1}\delta _{2}}{2}}}$

Τετράγωνο

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =4\alpha }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E=\alpha ^{2}}$

Τραπέζιο

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =\alpha +\beta +{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\eta \mu \theta }}+{\frac {1}{\eta \mu \phi }}\end{pmatrix}}\upsilon }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {\alpha +\beta }{2}}\upsilon }$

Κανονικό πολύγωνο

1. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές και πλευρά α

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =n\alpha }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}n\alpha ^{2}\sigma \phi {\frac {\pi }{n}}={\frac {1}{4}}n\alpha ^{2}{\frac {\sigma \upsilon \nu {\frac {\pi }{n}}}{\eta \mu {\frac {\pi }{n}}}}}$

2. Κανονικό πολύγωνο με n πλευρές εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας r

Περίμετρος:

${\displaystyle \Pi =2\pi r\eta \mu {\frac {\pi }{n}}}$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\pi r^{2}\eta \mu {\frac {2\pi }{n}}}$

Κύκλος

1. Κύκλος με ακτίνα r:

Περιφέρεια:

${\displaystyle \Pi =2\pi r}$

Εμβαδό:

${\displaystyle E=\pi r^{2}}$

2. Τομέας κύκλου ακτίνας r, τόξου θ (σε ακτίνια, rad):

Μήκος τόξου:

${\displaystyle \Pi =r\theta }$

Εμβαδό:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }$

3. Κύκλος ακτίνας r εγγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {s{\begin{pmatrix}s-\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\gamma \end{pmatrix}}}}{s}}}$
όπου ${\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta +\gamma \end{pmatrix}}}$

4. Κύκλος ακτίνας r περιγεγραμμένος σε τρίγωνο με πλευρές α, β, γ:

${\displaystyle r={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {s{\begin{pmatrix}s-\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s-\gamma \end{pmatrix}}}}}}}$
όπου ${\displaystyle s={\frac {\Pi }{2}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\alpha +\beta +\gamma \end{pmatrix}}}$

• (Συνεχίζεται...)
• Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών